参考にしたサイト➔三角関数の極限
解説：
\( \hspace{35px} \begin{eqnarray} \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin 3x}{x} & = & \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin 3x}{3x} \cdot 3 \\ & = & 1 \cdot 3 \\ & = & 3 \end{eqnarray} \)解説：
\( \hspace{35px} \begin{eqnarray} \displaystyle \lim_{x \to \infty} x\tan \dfrac{1}{x} & = & \displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{\tan \dfrac{1}{x}}{\dfrac{1}{x}} \\ & = & \displaystyle \lim_{t \to 0} \dfrac{\tan t}{t} (t = \dfrac{1}{x}) \\ & = & 1 \end{eqnarray} \)解説：
\( \hspace{35px} \begin{eqnarray} \displaystyle \lim_{h \to 0} \dfrac{2\cos(x+\frac{h}{2})\sin\frac{h}{2}}{h} & = & \displaystyle \lim_{h \to 0} \dfrac{\sin(x + h) - \sin(x)}{h} \\ & = & \dfrac{d}{dx}\sin x \\ & = & \cos x \end{eqnarray} \)解説：
\( \hspace{35px} \begin{eqnarray} \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin x^\circ}{x} & = & \displaystyle \lim_{x^\circ \to 0} \dfrac{\sin x^\circ}{x^\circ} \cdot \dfrac{\pi}{180} (360^\circ = 2\pi より x^\circ = \dfrac{\pi}{180}x) \\ & = & 1 \cdot \dfrac{\pi}{180} \\ & = & \dfrac{\pi}{180} \end{eqnarray} \)解説：
\( \hspace{35px} \begin{eqnarray} \displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{2x - \cos x}{x + \cos x} & = & \displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{2 - \dfrac{\cos x}{x}}{1 + \dfrac{\cos x}{x}} \\ \end{eqnarray} \)ここで\( \displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{\cos x}{x} \)について考える。
\( 0 \leqq |\cos x| \leqq 1 \) より \( x \neq 0 \) のとき
\( 0 \leqq \left| \frac{\cos x}{x}\right| = \frac{|\cos x|}{|x|} \leqq \frac{1}{|x|} \)
ここで、 \( \displaystyle\ \lim_{x \to \infty} \frac{1}{|x|}= 0 \) であることから、 \( \displaystyle \lim_{x \to \infty}\left| \frac{\cos^2 x}{x}\right| = 0 \)
\( \therefore \displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{\cos}{x} = 0 \)
したがって
\( \hspace{35px} \begin{eqnarray} \displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{2x - \cos x}{x + \cos x}& = & \dfrac{2 - 0}{1 + 0} \\ & = & 2 \end{eqnarray} \)