参考にしたサイト➔ロピタルの定理の条件と例題 | 高校数学の美しい物語

問題：次の関数を微分せよ

• (1)の答え \( \dfrac{1}{12} \)

  解説：

  \( \hspace{35px} \begin{eqnarray} \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{x - \sin x}{2x^3} & = & \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{1 - \cos x}{6x^2} \\ & = & \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{12x} \\ & = & \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\cos x}{12} \\ & = & \dfrac{1}{12} \end{eqnarray} \)


• (2)の答え \( 0 \)

  解説：

  \( \hspace{35px} \begin{eqnarray} \displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{\log x}{x} & = & \displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{\frac{1}{x}}{1} \\ & = & \displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{1}{x} \\ & = & 0 \end{eqnarray} \)


• (3)の答え \( 1 \)

  解説：

  \( y = x^{\frac{1}{x}} \) とおく。両辺に対数をかけると

  \[ \log y = \dfrac{\log x}{x} \]

  したがって(1)より \( \displaystyle \lim_{x \to \infty} \log y = 0 \)

  \[ \therefore y = 1 \]



• (4)の答え \( 1 \)

  解説：

  \( (与式) = \displaystyle \lim_{x \to \infty} 1 - \dfrac{\cos x}{x} から、まず \displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{\cos x}{x} を解く。 \)

  \( -1 \leqq \cos x \leqq 1 より \)

  \[ -\dfrac{1}{x} \leqq \dfrac{\cos x}{x} < \dfrac{1}{x} \]

  \( \displaystyle \lim_{x \to \infty} -\dfrac{1}{x} = \displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{1}{x} = 0 より \)

  \[ \displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{\cos x}{x} = 0 \]

  \[ \therefore \displaystyle \lim_{x \to \infty} 1 - \dfrac{\cos x}{x} = 1 - 0 = 1 \]



• (5)の答え \( -2 \)

  解説：

  \( t = \dfrac{x - 1}{x + 1} \) とおくと、 \( x = \dfrac{1 + t}{1 - t} \)

  また、 \( t = \dfrac{1 - \dfrac{1}{x}}{1 + \dfrac{1}{x}} \) と変形すると、 \( x \rightarrow \infty \) のとき \( t \rightarrow 1 \)

  \( \hspace{35px} \begin{eqnarray} \therefore \displaystyle \lim_{x \to \infty} x\log \biggl( \dfrac{x-1}{x+1} \biggr) & = & \displaystyle \lim_{t \to 1} \dfrac{1 + t}{1 - t}\log t \\ & = & \displaystyle \lim_{t \to 1} \dfrac{(1 + t)\log t}{1 - t} \\ & = & \displaystyle \lim_{t \to 1} \dfrac{\log t + \dfrac{1 + t}{t}}{-1} \\ & = & \dfrac{0 + 2}{-1} \\ & = & -2 \end{eqnarray} \)

\[ \]