参考にしたサイト➔置換積分法の公式やパターンを見分けるコツをわかりやすく解説 | 受験辞典

問題：次の式を計算せよ

• (1)の答え：\( \dfrac{3}{4}\sin^4 x + C （Cは積分定数） \)


• (2)の答え：\( 3\sqrt{x^2 + 9} + C （Cは積分定数） \)

  解説：

  \( \hspace{35px} \begin{eqnarray} \displaystyle \int \dfrac{3x}{\sqrt{x^2 + 9}} dx & = & \dfrac{3}{2}\displaystyle \int \dfrac{(x^2 + 9)'}{\sqrt{x^2 + 9}} dx \\ & = & 3\sqrt{x^2 + 9} + C （Cは積分定数） \\ \end{eqnarray} \)


• (3)の答え：\( -\dfrac{5}{3(\log x + 1)} + C （Cは積分定数） \)

  解説：

  \( \log x = t \)とおくと、
  \( \dfrac{dt}{dx} = \dfrac{1}{x} \)より\( dt = \dfrac{1}{x}dx \)

  \( \hspace{35px} \begin{eqnarray} \displaystyle \int \dfrac{5}{3x(\log x + 1)^2} dx & = & \dfrac{5}{3}\displaystyle \int \dfrac{1}{(t + 1)^2} dt \\ & = & -\dfrac{5}{3}(t + 1)^{-1} + C \\ & = & -\dfrac{5}{3(\log x + 1)} + C （Cは積分定数） \end{eqnarray} \)


• (4)の答え：\( \log(x + \sqrt{x^2 + 16}) + C（Cは積分定数） \)

  解説：

  \( t = x + \sqrt{x^2 + 16} \)とおくと、
  \( \dfrac{1}{t}dt = \dfrac{1}{\sqrt{x^2 + 16}}dx \)

  \( \hspace{35px} \begin{eqnarray} \displaystyle \int \dfrac{1}{\sqrt{x^2 + 16}} dx & = & \displaystyle \int \dfrac{1}{t} dt \\ & = & \log|t| + C \\ & = & \log(x + \sqrt{x^2 + 16}) + C（Cは積分定数） \end{eqnarray} \)


• (5)の答え：\( e^{2x} - \log(e^{2x} + 1) + C（Cは積分定数） \)

  解説：

  \( e^{2x} + 1 = t \)とおくと、\( e^{2x} = t - 1 \)
  \( 2e^{2x} = \dfrac{dt}{dx} \)より\( 2e^{2x}dx = dt \)

  \( \hspace{35px} \begin{eqnarray} \displaystyle \int \dfrac{2e^{4x}}{e^{2x} + 1} dx & = & \displaystyle \int \dfrac{t - 1}{t} dt \\ & = & \displaystyle \int 1 - \dfrac{1}{t} dt \\ & = & t - \log|t| + C \\ & = & e^{2x} - \log(e^{2x} + 1) + C（Cは積分定数） \end{eqnarray} \)


• (6)の答え：\( -\dfrac{625}{12} \)

  解説：

  \( \hspace{35px} \begin{eqnarray} \displaystyle \int_{-3}^{2} (x - 2)^2(x + 3) dx & = & \displaystyle \int_{-5}^{0} x^2(x + 5) dx \\ & = & \displaystyle \int_{-5}^{0} x^3 + 5x^2 \\ & = & \left[ \dfrac{1}{4}x^4 + \dfrac{5}{3}x^3 \right]_{-5}^{0} \\ & = & \dfrac{625}{4} - \dfrac{625}{3} \\ & = & -\dfrac{625}{12} \end{eqnarray} \)


• (7)の答え：\( \dfrac{\sqrt{3}}{6} \)

  解説：

  \( x = 2\sin t \)とおくと、
  \( \dfrac{dx}{dt} = 2\cos t \)より\( dx = 2\cos tdt \)

  \( \hspace{35px} \begin{eqnarray} \displaystyle \int_{1}^{\sqrt{3}} \dfrac{1}{x^2\sqrt{4 - x^2}} dx & = & \dfrac{1}{8}\displaystyle \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \dfrac{1}{\sin^2 t\cos t} dx \\ & = & \dfrac{1}{4}\displaystyle \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \dfrac{1}{\sin^2 t} dt \\ & = & -\dfrac{1}{4}\biggl[ \dfrac{1}{\tan t} \biggr]_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \\ & = & -\dfrac{1}{4\sqrt{3}} + \dfrac{\sqrt{3}}{4} \\ & = & \dfrac{\sqrt{3}}{6} \end{eqnarray} \)