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問題：次の式を計算せよ
- (1)の答え：\( \dfrac{20}{3} \)
解説：
\( x^2 + 3 \) は偶関数である。
\( \hspace{35px} \begin{eqnarray}
\therefore \displaystyle \int_{-1}^{1} (x^2 + 3) dx & = & 2\displaystyle \int_{0}^{1} (x^2 + 3) dx \\
& = & 2\left[ \dfrac{t^3}{3} + 3x \right]_{0}^{1} \\
& = & 2\biggl( \dfrac{1}{3} + 3 \biggr) \\
& = & \dfrac{20}{3}
\end{eqnarray} \)
- (2)の答え：\( 0 \)
解説：
\( x^3 - 5x \) は偶関数である。
\( \hspace{35px} \begin{eqnarray}
\displaystyle \int_{-1}^{1} (x^3 - 5x) dx & = & 0
\end{eqnarray} \)
- (3)の答え：\( \dfrac{2}{35} \)
解説：
\( \hspace{35px} \begin{eqnarray}
\displaystyle \int_{-1.5}^{1.5} (5x^4 + 4x^3 - 3x^2 + 2x + 1) dx & = & \displaystyle \int_{-1.5}^{1.5} (5x^4 - 3x^2 + 1) dx \\
& = & 2\displaystyle \int_{0}^{1.5} (5x^4 - 3x^2 + 1) dx \\
& = & 2\biggl[ x^5 - x^3 + x \biggr]_{0}^{1.5} \\
& = & 2\biggl(\dfrac{243}{32} - \dfrac{27}{8} + \dfrac{3}{2}\biggr) \\
& = & \dfrac{183}{16}
\end{eqnarray} \)
- (4)の答え：\( 0 \)
解説：
\( (x^3 + 2x)\sin^2x \) は (奇関数 + 奇関数) × ((奇関数)の二乗) より奇関数である。
\( \hspace{35px} \begin{eqnarray}
\displaystyle \int_{-\pi}^{\pi} \{(x^3 + 2x)\sin^2x\} dx & = & 0
\end{eqnarray} \)
- (5)の答え：\( -\dfrac{\pi}{2} \)
解説：
\( \dfrac{1}{x^2 + 1} \) は偶関数である。
\( \hspace{35px} \begin{eqnarray}
\displaystyle \int_{-1}^{1} \dfrac{x - 1}{x^2 + 1} dx & = & \displaystyle \int_{-1}^{1} \dfrac{x}{x^2 + 1} dx - \displaystyle \int_{-1}^{1} \dfrac{1}{x^2 + 1} dx \\
& = & -2\displaystyle \int_{0}^{1} \dfrac{1}{x^2 + 1} dx \\
& = & -2\left[ \theta \right]_{0}^{\frac{\pi}{4}} (\because x = \tan \thetaと置換した) \\
& = & -\dfrac{\pi}{2}
\end{eqnarray} \)