参考にしたサイト
➔・部分積分,
置換積分,
King Property,
偶・奇関数の積分
解説：
\( \hspace{35px} \begin{eqnarray} \displaystyle \int_{1}^{2} (3x^2 + 1)\log(x^3 + x) dx & = & \left[ (x^3 + x)\log(x^3 + x) \right]_{1}^{2} - \displaystyle \int_{1}^{2} (x^3 + x)\dfrac{3x^2 + 1}{x^3 + x} dx \\ & = & (10\log10 - 2\log2) - \displaystyle \int_{1}^{2} (3x^2 + 1) dx \\ & = & \{ 10(\log2 + \log5) - 2\log2 \} - 8 \\ & = & 8\log2 + 10\log5 - 8 \end{eqnarray} \)解説：
\( t = \sqrt{\sin x + 1} \)とおくと、\( t^2 = \sin x + 1 \)
\( \therefore 2tdt = \cos xdx \)
\( \hspace{35px} \begin{eqnarray}
\displaystyle \int \biggl( \cos^2\dfrac{x}{2} - \dfrac{1}{2} \biggr)\sqrt{\sin x + 1} dx & = & \displaystyle \int \biggl( \dfrac{2\cos^2\frac{x}{2} - 1}{2} \biggr)t dx \\
& = & \displaystyle \int t \cdot \dfrac{\cos x}{2} dx \\
& = & \displaystyle \int t \cdot \dfrac{2t}{2} dt \\
& = & \displaystyle \int t^2 dt \\
& = & \dfrac{1}{3}t^3 \\
& = & \dfrac{1}{3}(\sin x + 1)\sqrt{\sin x + 1} + C
\end{eqnarray} \)
解説：
\( 12^x + 12^{-x} \) は偶関数、\( \dfrac{1}{25^x - 25^{-x}} \) は奇関数より、 \( \dfrac{12^x + 12^{-x}}{25^x - 25^{-x}} \) は奇関数である。(∵偶関数×奇関数＝奇関数)
\( \hspace{35px} \begin{eqnarray} \displaystyle \int_{-2025}^{2025} \dfrac{12^x + 12^{-x}}{25^x - 25^{-x}} dx & = & 0 \end{eqnarray} \)解説：
\( \hspace{35px} \begin{eqnarray} 340200\displaystyle \int_{9}^{10} (x - 9)^5(x - 10)^2 dx & = & 340200\left[ \dfrac{1}{6}(x - 9)^6(x - 10)^2 \right]_{9}^{10} - 340200\displaystyle \int_{9}^{10} \dfrac{1}{3}(x - 9)^6(x - 10) dx \\ & = & 0 - \dfrac{340200}{3}\displaystyle \int_{9}^{10} (x - 9)^6\{ (x - 9) - 1 \} dx \\ & = & -\dfrac{340200}{3}\displaystyle \int_{9}^{10} \{ (x - 9)^7 - (x - 9)^6 \} dx \\ & = & -\dfrac{340200}{3}\left[ \dfrac{1}{8}(x - 9)^8 - \dfrac{1}{7}(x - 9)^7 \right]_{9}^{10} \\ & = & -\dfrac{340200}{3}\biggl( \dfrac{1}{8} - \dfrac{1}{7} \biggr) \\ & = & \dfrac{340200}{168} \\ & = & 2025 \end{eqnarray} \)解説：
\( I = \displaystyle \int_{-35}^{35} \dfrac{2|x|}{e^x + 1} dx \) とする。
\( \displaystyle \int_{-35}^{35} \dfrac{2|x|}{e^x + 1} dx = \displaystyle \int_{-35}^{35} \dfrac{2|x|}{e^{-x} + 1} dx \) より
\( \hspace{35px} \begin{eqnarray} 2I & = & \displaystyle \int_{-35}^{35} \dfrac{2|x|}{e^x + 1} dx + \displaystyle \int_{-35}^{35} \dfrac{2|x|}{e^{-x} + 1} dx \\ & = & \displaystyle \int_{-35}^{35} \dfrac{2|x|}{e^x + 1} dx + \displaystyle \int_{-35}^{35} \dfrac{e^x2|x|}{e^x + 1} dx \\ & = & \displaystyle \int_{-35}^{35} \dfrac{(e^x + 1)2|x|}{e^x + 1} dx \\ & = & \displaystyle \int_{-35}^{35} 2|x| dx \\ & = & 2\displaystyle \int_{0}^{35} 2x dx \\ & = & 2\left[ x^2 \right]_{0}^{35} \\ & = & 2\cdot35^2 \\ \therefore I & = & 35^2 = 1225 \end{eqnarray} \)