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問題：次の式を計算せよ

• (1)の答え：\( \dfrac{120}{\log 5} \)

  解説：

  \( \hspace{35px} \begin{eqnarray} \displaystyle \int_{1}^{3} 5^x dx & = & \left[ \dfrac{5^x}{\log 5} \right]_{1}^{3} \\ & = & \dfrac{5^3}{\log 5} - \dfrac{5^1}{\log 5} \\ & = & \dfrac{120}{\log 5} \end{eqnarray} \)


• (2)の答え：\( 3\log 2 \)

  解説：

  \( \hspace{35px} \begin{eqnarray} \displaystyle \int_{ \sqrt{2} }^{ \sqrt{8} } \dfrac{3}{x} dx & = & \left[ 3\log x \right]_{ \sqrt{2} }^{ 2\sqrt{2} } \\ & = & 3\log 2\sqrt{2} - 3\log \sqrt{2} \\ & = & 3\log \dfrac{ 2\sqrt{2} }{ \sqrt{2} } \\ & = & 3\log 2 \end{eqnarray} \)


• (3)の答え：\( 0 \)

  解説：範囲が0～0なので、値も0



• (4)の答え：\( 5\log 5 - 3\log 3 - 2 \)

  解説：

  \( \hspace{35px} \begin{eqnarray} \displaystyle \int_{3}^{5} \log x dx & = & \left[ x\log x - x \right]_{3}^{5} \\ & = & 5\log 5 - 5 - (3\log 3 - 3) \\ & = & 5\log 5 - 3\log 3 - 2 \end{eqnarray} \)


• (5)の答え：\( 4 \)

  解説：

  \( \hspace{35px} \begin{eqnarray} \displaystyle \int_{81}^{256} \dfrac{1}{ \sqrt[4]{x^3} } dx & = & \left[ 4x^{ \frac{1}{4} } \right]_{81}^{256} \\ & = & 4 \cdot 256^{ \frac{1}{4} } - 4 \cdot 81^{ \frac{1}{4} } \\ & = & 4 \cdot 4 - 4 \cdot 3 \\ & = & 4 \\ \end{eqnarray} \)