参考にしたサイト➔置換積分法の公式やパターンを見分けるコツをわかりやすく解説 | 受験辞典

問題：次の式を計算せよ

• (1)の答え：\( \dfrac{3}{4}(x^2 + 7)^2 + C （Cは積分定数） \)

  解説：

  \( \hspace{35px} \begin{eqnarray} \displaystyle \int_{}^{} 3x(x^2 + 7) \, dx & = & \displaystyle \int_{}^{} \frac{3}{2}(x^2 + 7)'(x^2 + 7) \, dx \\ & = & \dfrac{3}{2}\dfrac{1}{2}(x^2 + 7)^2 \\ & = & \dfrac{3}{4}(x^2 + 7)^2 + C （Cは積分定数） \end{eqnarray} \)


• (2)の答え：\( \log|x^2 + 3| + C （Cは積分定数） \)

  解説：

  \( \hspace{35px} \begin{eqnarray} \displaystyle \int_{}^{} \dfrac{2x}{x^2 + 3} \, dx & = & \displaystyle \int \dfrac{(x^2 + 3)'}{x^2 + 3} \, dx \\ & = & \log|x^2 + 3| + C （Cは積分定数） \end{eqnarray} \)


• (3)の答え：\( \dfrac{\sin^6 x}{6} + C （Cは積分定数） \)

  解説：

  \( \hspace{35px} \begin{eqnarray} \displaystyle \int_{}^{} \sin^5 x\cos x \, dx & = & \displaystyle \int_{}^{} \sin^5 x(\sin x)' \, dx \\ & = & \dfrac{\sin^6 x}{6} + C （Cは積分定数） \\ \end{eqnarray} \)


• (4)の答え：\( \dfrac{1}{8}(e^{-2} - 1) \)

  解説：

  \( \hspace{35px} \begin{eqnarray} \displaystyle \int_{-1}^{0} x^3e^{2x^4 - 2} \, dx & = & \displaystyle \int_{-1}^{0} \dfrac{1}{8}(2x^4 - 2)'e^{2x^4 - 2} \, dx \\ & = & \left[ \dfrac{1}{8}e^{2x^4 - 2} \right]_{-1}^{0} \\ & = & \dfrac{1}{8}e^{-2} - \dfrac{1}{8} \\ & = & \dfrac{1}{8}(e^{-2} - 1) \\ \end{eqnarray} \)


• (5)の答え：\( 9 \)

  解説：

  \( \hspace{35px} \begin{eqnarray} \displaystyle \int_{0}^{9} \dfrac{x}{\sqrt{81 - x^2}} \, dx & = & \displaystyle \int_{0}^{9} \dfrac{-\frac{1}{2}(81 - x^2)'}{\sqrt{81 - x^2}} \, dx \\ & = & \left[ -\dfrac{1}{2}2(81 - x^2)^{\frac{1}{2}} \right]_{0}^{9} \\ & = & \left[ -(81 - x^2)^{\frac{1}{2}} \right]_{0}^{9} \\ & = & 0 - (-9) \\ & = & 9 \end{eqnarray} \)