参考にしたサイト➔置換積分法の公式やパターンを見分けるコツをわかりやすく解説 | 受験辞典

問題：次の式を計算せよ

• (1)の答え：\( \dfrac{1}{5}(x + 5)^5 - \dfrac{5}{4}(x + 5)^4 + C （Cは積分定数） \)

  解説：

  \( x + 5 = t \)とおくと、\( x = t - 5 \)
  \( \dfrac{dx}{dt} = 1 \)より\( dx = dt \)

  \( \hspace{35px} \begin{eqnarray} \displaystyle \int x(x + 5)^3 \, dx & = & \displaystyle \int (t - 5)t^3 \, dt \\ & = & \displaystyle \int t^4 - 5t^3 \, dt \\ & = & \dfrac{1}{5}t^5 - \dfrac{5}{4}t^4 + C \\ & = & \dfrac{1}{5}(x + 5)^5 - \dfrac{5}{4}(x + 5)^4 + C （Cは積分定数） \end{eqnarray} \)


• (2)の答え：\( \dfrac{1}{2}\log(e^{2x} + 2) + C （Cは積分定数） \)

  解説：

  \( e^{2x} + 2 = t \)とおくと、
  \( \dfrac{dt}{dx} = 2e^{2x} \)より\( dt = 2e^{2x}dx \)

  \( \hspace{35px} \begin{eqnarray} \displaystyle \int \dfrac{e^{2x}}{e^{2x} + 2} \, dx & = & \displaystyle \int \dfrac{1}{t}\dfrac{1}{2}2e^{2x} \, dx \\ & = & \dfrac{1}{2}\displaystyle \int \dfrac{1}{t} \, dt \\ & = & \dfrac{1}{2}\log|t| + C \\ &&e^{2x} + 2 > 0より \\ & = & \dfrac{1}{2}\log(e^{2x} + 2) + C （Cは積分定数） \\ \end{eqnarray} \)


• (3)の答え：\( -\dfrac{1}{25\log x + 15} + C （Cは積分定数） \)

  解説：

  \( \log x = t \)とおくと、
  \( \dfrac{dt}{dx} = \dfrac{1}{x} \)より\( dt = \dfrac{1}{x}dx \)

  \( \hspace{35px} \begin{eqnarray} \displaystyle \int \dfrac{dx}{x(5\log x + 3)^2} & = & \displaystyle \int \dfrac{dt}{(5t + 3)^2} \\ & = & \displaystyle \int (5t + 3)^{-2} \, dt \\ & = & -(5t + 3)^{-1} \cdot \dfrac{1}{(5t + 3)'} + C \\ & = & -\dfrac{1}{25\log x + 15} + C （Cは積分定数） \end{eqnarray} \)


• (4)の答え：\( -\dfrac{125}{6} \)

  解説：

  \( x - 3 = t \)とおくと、\( x = t + 3 \)
  \( \dfrac{dx}{dt} = 1 \)より\( dx = dt \)

  \( \hspace{35px} \begin{eqnarray} \displaystyle \int_{-2}^{3} (x - 3)(x + 2) \, dx & = & \displaystyle \int_{-2}^{3} t(t + 5) \, dt \\ & = & \displaystyle \int_{-5}^{0} t^2 + 5t \, dt \\ & = & \left[ \dfrac{1}{3}t^3 + \dfrac{5}{2}t^2 \right]_{-5}^{0} \\ & = & 0 - (-\dfrac{125}{3} + \dfrac{125}{2}) \\ & = & -\dfrac{125}{6} \end{eqnarray} \)


• (5)の答え：\( \dfrac{17}{480} \)

  解説：

  \( \cos x = t \)とおくと、
  \( \dfrac{dt}{dx} = -\sin x \)より\( dt = -\sin xdx \)

  \( \hspace{35px} \begin{eqnarray} \displaystyle \int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}} \sin^3 x\cos^2 x \, dx & = & \displaystyle \int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}} -\sin^2 x\cos^2 x(-\sin x) \, dx \\ & = & -\displaystyle \int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}} (1 - \cos^2 x)\cos^2 x \, dt \\ & = & -\displaystyle \int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}} (\cos^2 x - \cos^4 x) \, dt \\ & = & -\displaystyle \int_{\frac{1}{2}}^{0} (t^2 - t^4) \, dt \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{\frac{1}{2}} (t^2 - t^4) \, dt \\ & = & \left[\dfrac{1}{3}t^3 - \dfrac{1}{5}t^5\right]_{0}^{\frac{1}{2}} \\ & = & \dfrac{1}{24} - \dfrac{1}{160} \\ & = & \dfrac{17}{480} \end{eqnarray} \)