積分テストNo.22

制限時間は9:00 ～ 9:30まで
答えはDMに

問題：次の式を計算せよ。

(1) \( \displaystyle \lim_{n \to \infty} \left(\dfrac{1}{n^2 + 1^2} + \dfrac{2}{n^2 + 2^2} + \cdots + \dfrac{n}{n^2 + n^2} \right) \)

(2) \( \displaystyle \lim_{n \to \infty} \left(\dfrac{1}{n + 1} + \dfrac{1}{n + 2} + \cdots + \dfrac{1}{n + 2n} \right) \)

(3) \( \displaystyle \lim_{n \to \infty} \left(\dfrac{n}{n^2 + 2^2} + \dfrac{n}{n^2 + 3^2} + \cdots + \dfrac{n}{n^2 + (n - 2)^2} \right) \)

(4) \( \displaystyle \lim_{n \to \infty} \dfrac{1}{n}\left(\sin\Bigl(\dfrac{\pi}{n}\Bigr) + \sin\Bigl(\dfrac{2}{n}\pi\Bigr) + \cdots + \sin\Bigl(\dfrac{n}{n}\pi\Bigr) \right) \)

(5) \( \displaystyle \lim_{n \to \infty} \dfrac{1}{n}\sqrt[n]{\dfrac{(2n)!}{n!}} \)