積分テストNo.28

制限時間は9:00 ～ 9:30まで
答えはDMに

問題：次の問題を解け。( \( n \) は \( 0 \) 以上の整数とする。)

(1) \( I_n = \displaystyle \int_{1}^{e} (\log x)^n dx \)
　この時、 \( I_n \) を \( I_{n - 1} \) を用いて表せ。

(2) \( J_n = \displaystyle \int_{0}^{\infty} x^ne^x dx \)
　この時、 \( J_n \) を \( J_{n - 1} \) を用いて表せ。

(3) \( S_n = \displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \sin^n 2x dx \)
　この時、 \( S_n \) を \( S_{n - 2} \) を用いて表せ。

(4) \( \displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \sin^4 2x dx \) の値を求めよ。

(5) \( R_n = \displaystyle \int_{0}^{1} x^n\sqrt{x^2 + 1} dx \)
　この時、 \( R_n \) の一般項を求めよ。