積分テストNo.34

制限時間は9:00 ～ 9:30まで
答えはDMに

問題：次の問題を解け。

(1) \( 0 \leqq x \leqq 1 \) のとき \( \dfrac{1}{(x + 1)^2} \leqq \dfrac{1}{x^2 + x + 1} \leqq \dfrac{1}{x + 1} \) が成り立つことを証明せよ。

(2) \( 0 \leqq x \leqq 1 \) のとき \( \dfrac{1}{1 + x} \leqq \dfrac{1}{1 + x^2} \leqq 1 \) が成り立つことを証明せよ。

(3) \( 0 \leqq x \leqq \dfrac{\pi}{4} \) のとき \( \dfrac{1}{\sqrt{1 - \sin x}} \leqq \dfrac{1}{\sqrt{1 - x}} \) が成り立つことを証明せよ。

(4) \( 0 \leqq x \leqq \dfrac{1}{\sqrt{2}} \) のとき \( \dfrac{1}{\sqrt{1 - x^n}} \leqq \dfrac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \) (\( n \) は2以上の自然数) が成り立つことを証明せよ。

(5) \( 0 \leqq x \leqq \dfrac{\pi}{2} \) のとき \( e^{-x} \leqq e^{-\sin x} \leqq e^{-\frac{2}{\pi}x} \) が成り立つことを証明せよ。