積分テストNo.35

制限時間は9:00 ～ 9:30まで
答えはDMに

問題：次の問題を解け。

(1) \( \dfrac{1}{2} < \displaystyle \int_{0}^{1} \dfrac{1}{x^2 + x + 1} dx < \log 2 \) が成り立つことを証明せよ。

(2) \( \dfrac{\pi}{4}(e - 1) < \displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} e^{\sin 2x} dx < \dfrac{1}{2}e^{\frac{\pi}{2}} \) が成り立つことを証明せよ。

(3) \( \dfrac{\pi}{6} < \displaystyle \int_{0}^{\frac{1}{\sqrt{3}}} \dfrac{1}{1 + x^n} < \frac{1}{\sqrt{3}} \) (\( n \) は2以上の自然数) が成り立つことを証明せよ。

(4) \( 13\log 2 - 3 < \displaystyle \int_{1}^{4} \log (x^2 + \sqrt{x}) < 6\log 3 + 3\log 2 \) が成り立つことを証明せよ。

(5) \( \log n < 1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + \cdots + \dfrac{1}{n} < \log(n + 1) \) が成り立つことを証明せよ。