参考にしたサイト
➔ガウス記号を含む関数の極限
➔自然対数の底（ネイピア数）の定義：収束することの証明 | 高校数学の美しい物語

問題：次の関数を微分せよ

• (1)の答え \( 0 \)

  解説：

  \[ [x] \leqq x < [x] + 1 \]

  \[ \Longleftrightarrow x - 1 < [x] \leqq x \]

  \[ \Longleftrightarrow \dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{x^2} < \dfrac{[x]}{x^2} \leqq \dfrac{1}{x} \]

  \( \displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{1}{x} = \displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{1}{x^2} = 0 より \)

  \[ \displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{[x]}{x^2} = 0 \]



• (2)の答え \( 0 \)

  解説：

  \( (与式) = \displaystyle \lim_{x \to \infty} \sqrt{1 + \dfrac{\cos x}{x}} から、まず \displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{\cos x}{x} を解く。 \)

  \( -1 \leqq \cos x \leqq 1 より \)

  \[ -\dfrac{1}{x} \leqq \dfrac{\cos x}{x} < \dfrac{1}{x} \]

  \( \displaystyle \lim_{x \to \infty} -\dfrac{1}{x} = \displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{1}{x} = 0 より \)

  \[ \displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{\cos x}{x} = 0 \]

  \[ \therefore \displaystyle \lim_{x \to \infty} \sqrt{1 + \dfrac{\cos x}{x}} = \sqrt{1 + 0} = 1 \]



• (3)の答え \( e^2 \)

  解説：

  \( \hspace{35px} \begin{eqnarray} \displaystyle \lim_{n \to \infty} \biggl( 1 + \dfrac{2}{n} \biggr)^n & = & \displaystyle \lim_{n \to \infty} \biggl\{ \biggl( 1 + \dfrac{1}{\frac{n}{2}} \biggr)^\frac{n}{2} \biggr\}^2 \\ & = & \displaystyle \lim_{t \to \infty} \biggl\{ \biggl( 1 + \dfrac{1}{t} \biggr)^t \biggr\}^2　(t = \dfrac{n}{2}) \\ & = & e^2 \end{eqnarray} \)


• (4)の答え \( 2 \)

  解説：

  \( \hspace{35px} \begin{eqnarray} \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{e^{2x} - 1}{x} & = & \displaystyle \lim_{2x \to 0} \dfrac{e^{2x} - 1}{2x} \cdot 2 \\ & = & 1 \cdot 2 \\ & = & 2 \end{eqnarray} \)


• (5)の答え \( \dfrac{1}{x} \)

  解説：

  \( \hspace{35px} \begin{eqnarray} \displaystyle \lim_{h \to 0} \dfrac{\log(x + h) - \log x}{h} & = & \dfrac{d}{dx}\log x \\ & = & \dfrac{1}{x} \end{eqnarray} \)