参考にしたサイト➔自然対数の底（ネイピア数）の定義：収束することの証明 | 高校数学の美しい物語
解説：
\( y = x^{\frac{1}{1 - x}} \) とおく。両辺に対数をかけると
\[ \log y = \dfrac{\log x}{1 - x} \]
\( \hspace{35px} \begin{eqnarray} \therefore \displaystyle \lim_{x \to 1} \dfrac{\log x}{1 - x} & = & \displaystyle \lim_{x \to 1} \dfrac{\frac{1}{x}}{-1} \\ & = & \displaystyle \lim_{x \to 1} -\dfrac{1}{x} \\ & = & -1 \end{eqnarray} \)したがって、 \[ \displaystyle \lim_{x \to 1} \log y = -1 \]
\[ \therefore y = \dfrac{1}{e} \]
解説：
\( t = \dfrac{1}{x} \) とおくと、 \( x \rightarrow 0 \) のとき \( t \rightarrow \infty \)
\( \hspace{35px} \begin{eqnarray} \displaystyle \lim_{x \to 0} \biggl( \dfrac{1 + x}{1 - x} \biggr)^{\frac{1}{x}} & = & \displaystyle \lim_{x \to 0} \biggl( \dfrac{\dfrac{1}{x} + 1}{\dfrac{1}{x} - 1} \biggr)^{\frac{1}{x}} \\ & = & \displaystyle \lim_{t \to \infty} \biggl( \dfrac{t + 1}{t - 1} \biggr)^t \\ & = & \displaystyle \lim_{t \to \infty} \biggl( 1 + \dfrac{2}{t - 1} \biggr)^{t - 1} \cdot \biggl( 1 + \dfrac{2}{t - 1} \biggr) \\ & = & e^2 \cdot (1 + 0) \\ & = & e^2 \end{eqnarray} \)解説：
\( \hspace{35px} \begin{eqnarray} \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\log_a(1 + x)}{x} & = & \displaystyle \lim_{x \to 0} \log_a(1 + x)^{\frac{1}{x}} \\ & = & \log_a e \\ & = & \dfrac{1}{\log a} (a \gt 0, a \neq 0) \end{eqnarray} \)解説：
\( \hspace{35px} \begin{eqnarray} \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{a^x - 1}{x} & = & \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{a^x\log a}{1} \\ & = & \log a (a \gt 0, a \neq 0) \end{eqnarray} \)別解：
\[ \displaystyle \lim_{X \to 0} \log_a (1 + X)^{\frac{1}{X}} = \log_a e \]
\[ \Longleftrightarrow \displaystyle \lim_{X \to 0} \dfrac{\log_a (1 + X)}{X} = \dfrac{1}{\log a} \]
\[ \Longleftrightarrow \displaystyle \lim_{X \to 0} \dfrac{X}{\log_a (1 + X)} = \log a \]
ここで \( \log_a (1 + X) = t \) とおくと、 \( a^t = 1 + X \Longleftrightarrow X = a^t - 1 \)
また、\( X \rightarrow 0 \) のとき \( t \rightarrow 0 \)
したがって、
\[ \Longleftrightarrow \displaystyle \lim_{t \to 0} \dfrac{a^t - 1}{t} = \log a \]
\[ \therefore \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{a^x - 1}{x} = \log a (a \gt 0, a \neq 0) \]
解説：
\( \hspace{35px} \begin{eqnarray} \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{a^x - b^x}{x} & = & \displaystyle \lim_{x \to 0} \biggl( \dfrac{a^x - 1}{x} - \dfrac{b^x - 1}{x} \biggr) \\ & = & \log a - \log b \\ & = & \log \dfrac{a}{b} (a \gt 0, b \gt 0) \end{eqnarray} \)