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問題：次の式を計算せよ

(1)の答え：\( -\dfrac{1}{\sin^2 x} \)
解説：
\( \hspace{35px} \begin{eqnarray} \biggl( \dfrac{1}{\tan x} \biggr)' & = & \dfrac{0 - (\tan x)'}{\tan^2 x} \\ & = & -\dfrac{1}{\sin^2 x} \end{eqnarray} \)

(2)の答え：\( x^x(\log x + 1) \)
解説：
\( \hspace{35px} \begin{eqnarray} y & = & x^x \\ \log y & = & x\log x \\ \dfrac{y'}{y} & = & \log x + 1 \\ y' & = & y(\log x + 1) \\ & = & x^x(\log x + 1) \end{eqnarray} \)

※別解：

(3)の答え：\( \dfrac{16}{3} \)
解説：
\( \hspace{35px} \begin{eqnarray} \displaystyle \int_{0}^{4} \sqrt{x} dx & = & \left[ \dfrac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} \right]_{0}^{4} \\ & = & \dfrac{16}{3} \\ \end{eqnarray} \)

(4)の答え：\( \dfrac{1}{2}\log 3 \)
解説：
\( \hspace{35px} \begin{eqnarray} \displaystyle \int_{0}^{\frac{1}{2}} \dfrac{1}{1 - x^2} dx & = & \displaystyle \int_{0}^{\frac{1}{2}} \dfrac{1}{2}\biggr( \dfrac{1}{1 + x} + \dfrac{1}{1 - x} \biggl) dx \\ & = & \dfrac{1}{2}\biggl[ \log|1 + x| - \log|1 - x| \biggr]_{0}^{\frac{1}{2}} \\ & = & \dfrac{1}{2}\biggl[ \log\biggl| \dfrac{1 + x}{1 - x} \biggr| \biggr]_{0}^{\frac{1}{2}} \\ & = & \dfrac{1}{2}\log 3 \end{eqnarray} \)

(5)の答え：\( -\dfrac{1}{5}e^x\sin x\cos x + C （Cは積分定数） \)
解説：
\( \displaystyle \int e^x\sin x\cos x dx = I \) とすると
\( \hspace{35px} \begin{eqnarray} \displaystyle \int e^x\sin x\cos x dx & = & e^x\sin x\cos x - \displaystyle \int e^x(\sin x\cos x)' dx \\ & = & e^x\sin x\cos x - \displaystyle \int e^x(\cos^2 x - \sin^2 x) dx \\ & = & e^x\sin x\cos x - \displaystyle \int e^x\cos 2x dx \\ & = & e^x\sin x\cos x - \biggl( e^x\cos 2x - \displaystyle \int e^x(\cos 2x)' dx \biggr) \\ & = & e^x\sin x\cos x - \biggl( e^x\cos 2x + 2\displaystyle \int e^x\sin 2x dx \biggr) \\ & = & e^x\sin x\cos x - \biggl( e^x\cos 2x + 4\displaystyle \int e^x\sin x\cos x dx \biggr) \\ I & = & e^x\sin x\cos x - e^x\cos 2x - 4I \\ 5I & = & e^x\sin x\cos x - 2e^x\sin x\cos x \\ 5I & = & -e^x\sin x\cos x \\ I & = & -\dfrac{1}{5}e^x\sin x\cos x + C （Cは積分定数） \end{eqnarray} \)