参考にしたサイト➔微分公式一覧（基礎から発展まで） | 高校数学の美しい物語
解説：
\( \hspace{35px} \begin{eqnarray} y & = & (\cos x + \sin x)^3 \\ y' & = & 3(\cos x + \sin x)^2(\cos x + \sin x)' \\ & = & 3(\cos x + \sin x)^2(\cos x - \sin x) \end{eqnarray} \)解説：
\( \hspace{35px} \begin{eqnarray} y & = & \dfrac{1}{3}x^3\log 3x - \dfrac{1}{9}x^3 \\ y' & = & (\dfrac{1}{3}x^3)'\log 3x + \dfrac{1}{3}x^3(\log 3x)' - \dfrac{1}{3}x^2 \\ & = & x^2\log 3x + \dfrac{1}{3}x^3 \cdot \dfrac{(3x)'}{3x} - \dfrac{1}{3}x^2 \\ & = & x^2\log 3x + \dfrac{1}{3}x^2 - \dfrac{1}{3}x^2 \\ & = & x^2\log 3x \end{eqnarray} \)解説：
\( \hspace{35px} \begin{eqnarray} y & = & \dfrac{1}{ \sqrt{x^2 + 1} } \\ y' & = & -\dfrac{(\sqrt{x^2 + 1})'}{(\sqrt{x^2 + 1})^2} \\ & = & -\dfrac{ \frac{(x^2 + 1)'}{ 2\sqrt{x^2 + 1} } }{x^2 + 1} \\ & = & -\dfrac{ \frac{2x}{ 2\sqrt{x^2 + 1} } }{x^2 + 1} \\ & = & -\dfrac{ \frac{x}{ \sqrt{x^2 + 1} } }{x^2 + 1} \\ & = & -x(x^2 + 1)^{ -\frac{3}{2} } \end{eqnarray} \)解説：
\( \hspace{35px} \begin{eqnarray} y & = & \dfrac{1}{2}\log \dfrac{1 + \sin x}{1 - \sin x} \\ & = & \dfrac{1}{2}\{ \log (1 + \sin x) - \log (1 - \sin x) \} \\ y' & = & \dfrac{1}{2}\{ \frac{(1 + \sin x)'}{1 + \sin x} - \frac{(1 - \sin x)'}{1 - \sin x} \} \\ & = & \dfrac{1}{2}( \frac{\cos x}{1 + \sin x} - \frac{-\cos x}{1 - \sin x} ) \\ & = & \dfrac{1}{2}\{ \frac{\cos x(1 - \sin x) + \cos x(1 + \sin x)}{(1 + \sin x)(1 - \sin x)} \} \\ & = & \dfrac{1}{2}\dfrac{2\cos x}{1 - \sin^2 x} \\ & = & \dfrac{\cos x}{\cos^2 x} \\ & = & \dfrac{1}{\cos x} \end{eqnarray} \)解説：
\( \hspace{35px} \begin{eqnarray} y & = & x^{ x^{\cos x} } \\ y' & = & (e^{x^{\cos x}\log x})' \\ & = & (x^{\cos x}\log x)'e^{x^{\cos x}\log x} \\ & = & (x^{\cos x}\log x)'x^{ x^{\cos x} } \\ & = & \{ (x^{\cos x})'\log x + x^{\cos x - 1} \}x^{ x^{\cos x} } ‥(＊) \\ \end{eqnarray} \)ここで\( (x^{\cos x})' \)について考える。
\( \hspace{35px} \begin{eqnarray} (x^{\cos x})' & = & (e^{\cos x\log x})' \\ & = & (\cos x\log x)'e^{\cos x\log x} \\ & = & (-\sin x\log x + \frac{\cos x}{x})x^{\cos x} \end{eqnarray} \)これを(＊)に代入すると
\( \hspace{35px} \begin{eqnarray} y' & = & \{ (-\sin x\log x + \frac{\cos x}{x})x^{\cos x}\log x + x^{\cos x - 1} \}x^{x^{\cos x}} \\ & = & \{ (-\sin x\log x + \frac{\cos x}{x})x\log x + 1 \}x^{x^{\cos x} + \cos x - 1} \end{eqnarray} \)